Question

下列说法：
①“?x∈R，使2^x＞3^x”的否定是“?x∈R，使2^x≤3^x”；
②若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值为

28

5

；
③命题“函数f（x）在x=x₀处有极值，则f′（x₀）=0”的否命题是真命题；
④f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时的解析式是f（x）=2^x，则x＜0时的解析式为f（x）=-2^-x．
其中正确的说法是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,简易逻辑

分析：①由含有一个量词的命题的否定形式，即可判断；
②运用基本不等式求最值．将x+3y=5xy变形为

1

5y

+

3

5x

=1，则3x+4y=（3x+4y）×（

1

5y

+

3

5x

）将其展开，再运用基本不等式，即可求出最小值；
③先写出逆命题，再举反例判断真假，再根据否命题与逆命题互为等价命题，即可判断；
④运用奇函数的定义，设x＜0，则-x＞0，运用大于0的解析式，再由f（-x）=-f（x），即可得到小于0的解析式，从而判断④．

解答： 解：①“?x∈R，使2^x＞3^x”的否定是“?x∈R，使2^x≤3^x”，故①正确；
②若正数x，y满足x+3y=5xy，则

1

5y

+

3

5x

=1，
∴3x+4y=（3x+4y）×（

1

5y

+

3

5x

）=

9

5

+

4

5

+

3x

5y

+

12y

5x

≥

13

5

+2

3x 5y • 12y 5x

=

13

5

+

12

5

=5，
当且仅当x=1，y=

1

2

时，取最小值5，故②错；
③命题“若函数f（x）在x=x₀处有极值，则f′（x₀）=0”的逆命题是“若f′（x₀）=0，则函数f（x）在x=x₀处有极值”，这是假命题，例如f（x）=x³，f′（x）=3x²，有f′（0）=0，但x=0不为极值点，又否命题与逆命题等价，故否命题也是假命题，故③错；
④f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时的解析式是f（x）=2^x，令x＜0，则-x＞0，f（-x）=
2-x，又f（-x）=-f（x），则当x＜0时，f（x）=-2-x，故④正确．
故答案为：①④．

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，考查函数的导数为0是函数具有极值的必要条件，同时考查函数的奇偶性及应用，求函数解析式，是一道基础题．