Question

定义在区间[a，b]上的函数y=f（x），f′（x）是函数f（x）的导数，如果?ξ∈[a，b]，使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a），则称ξ为[a，b]上的“中值点”．下列函数：
①f（x）=2x+1，
②f（x）=x²-x+1，
③f（x）=ln（x+1），
④f（x）=（x-

1

2

）³，x∈[-2，2]
其中在区间上的“中值点”多于一个的函数是

 

（请写出你认为正确的所有结论的序号）．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：新定义,导数的概念及应用

分析：根据“中值点”的几何意义是在区间[a，b]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[a，b]的两个端点连线的斜率值．由此定义并结合函数的图象与性质，对于四个选项逐一判断，即得出正确答案．

解答： 解：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[a，b]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[a，b]的两个端点连线的斜率值．
对于①，根据题意，在区间[a，b]上的任一点都是“中值点”，f′（x）=2，满足f（b）-f（a）=f′（x）（b-a），∴①正确；
对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间[a，b]只存在一个“中值点”，∴②不正确；
对于③，f（x）=ln（x+1）在区间[a，b]只存在一个“中值点”，∴③不正确；
对于④，∵f′（x）=3(x-

1

2

)2，且f（2）-f（-2）=19，2-（-2）=4；∴3(x-

1

2

)2×4=19，解得x=

1

2

±

19 12

∈[-2，2]，∴存在两个“中值点”，④正确．
故答案为：①④

点评：本题考查了新定义的命题真假的判断问题，重点是对导数及其几何意义的理解与应用问题，是中档题．