Question

若关于x的不等式sin²x-（a+1）sinx+1≥0对一切x∈[0，

π

2

]恒成立，则a∈

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：设t=sinx，利用换元法结合不等式恒成立进行等价转化即可得到结论．

解答： 解：设t=sinx，∵x∈[0，

π

2

]，∴t∈[0，1]，
则不等式等价为t²-（a+1）t+1≥0在t∈[0，1]恒成立，
即t²+1≥（a+1）t在t∈[0，1]恒成立，
当t=0时，不等式等价为1≥0，成立，
当t≠0时，不等式等价为t+

1

t

≥（a+1），
∵y=t+

1

t

≥2

t• 1 t

=2，当且仅当t=1时取等号，
∴a+1≤2，解得a≤1，
故答案为：（-∞，1]．

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用换元法结合基本不等式求出函数的最值是解决本题的关键．