Question

下列命题正确的有

 

①已知A，B是椭圆

x2

3

+

y2

4

=1的左右两个顶点，P是该椭圆上异于A，B的任一点，则K_AP•K_BP=-

3

4

．
②已知双曲线x²-

y2

3

=1的左顶点为A₁，右焦点为F₂，P为双曲线右支上一点，则

PA1

•

PF2

的最小值为-2．
③若抛物线C：x²=4y的焦点为F，抛物线上一点Q（2，1）和抛物线内一点R（2，m）（m＞1），过点Q作抛物线的切线l₁，直线l₂过点Q且与l₁垂直，则l₂平分∠RQF；
④已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，xf′（x）-f（x）＞0（x＞0），则不等式f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：若A，B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的左右两个顶点，P是该椭圆上异于A，B的任一点，则K_AP•K_BP=-

b2

a2

，由此可判断①；设P（x，y）（x≥1），求出

PA1

•

PF2

的最小值，可判断②；利用导数法，求切线l₁的斜率及倾斜角，进而可判断③；构造函数g（x）=

f(x)

x

，根据已知分析g（x）的单调性，奇偶性，及在各象限上的符号，进而求解不等式f（x）＞0，可判断④．

解答： 解：①已知A，B是椭圆

x2

3

+

y2

4

=1的左右两个顶点，P是该椭圆上异于A，B的任一点，则K_AP•K_BP=-

4

3

，故①错误；
设P（x，y）（x≥1），易得A₁（-1，0），F₂（2，0），

PA1

•

PF2

=（-1-x，y）•（2-x，y）=x²-x-2+y²，
又x²-

y2

3

=1，故y²=3（x²-1），于是

PA1

•

PF2

=4x²-x-5=4（x-

1

8

）²-5-

1

16

，
当x=1时，取到最小值-2，故②正确；
∵抛物线的焦点为F（0，1），又Q（2，1），R（2，m），∴三角形FQR为直角三角形，由x²=4y，得y=

1

4

x²，求导得y′=

1

2

x，
∴切线l₁的斜率为k₁=1，即直线l₁的倾斜角为45°，∵直线l₂过点Q且与l₁垂直，所以l₂一定平分∠RQF．故③正确．
∵xf′（x）-f（x）＞0（x＞0），
设函数g（x）=

f(x)

x

，∴g′（x）=

1

x2

[xf′（x）-f（x）]＞0，
∴g（x）的单调递增区间为（0，+∞），
∵g（-x）=

f(-x)

-x

=

-f(x)

-x

=g（x），∴g（x）为偶函数，
∴g（x）的单调递减区间为（-∞，0），
∵f（1）=0，∴g（1）=0．g（-1）=0，
∴当x＜-1时，g（x）＞0，f（x）＜0，当-1＜x＜0时，g（x）＜0，f（x）＞0，
当0＜x＜1时，g（x）＜0，f（x）＜0，当x＞1时，g（x）＞0，f（x）＞0
∴不等式f（x）＞0的解集（-1，0）∪（1，+∞）．故④正确；
综上所述，正确的命题有：②③④，
故答案为：②③④

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了椭圆的简单性质，双曲线的简单性质，向量的数量积，抛物线的简单性质，导数的简单应用，函数的奇偶性，函数的单调性，解不等式等知识点，综合性强，难度较大．