Question

已知P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右支上一点，F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，下列命题正确的是（　　）

• A、双曲线的焦点到渐近线的距离为a
• B、若|PF₁|=e|PF₂|，则e的最大值为

  3

• C、△PF₁F₂的内切圆的圆心的横坐标为b
• D、若∠F₁PF₂的外角平分线交x轴与M，则

  |MF1|

  |PF1|

  =e．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：A：双曲线的焦点（c，0）到渐近线bx+ay=0的距离为

bc

b2+a2

=b；
B：若|PF₁|=e|PF₂|，则|PF₁|-|PF₂|=（e-1）|PF₂|=2a，2a≥（e-1）（c-a），可得1＜e≤

2

+1；
C：根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF₁|-|PF₂|=2a，转化为|HF₁|-|HF₂|=2a，从而求得点H的横坐标；
D：利用三角形外角平分线的性质，结合双曲线的定义，可得结论．

解答： 解：双曲线的焦点（c，0）到渐近线bx+ay=0的距离为

bc

b2+a2

=b，故A不正确；
若|PF₁|=e|PF₂|，则|PF₁|-|PF₂|=（e-1）|PF₂|=2a，
∴2a≥（e-1）（c-a），∴2≥（e-1）²，∴1＜e≤

2

+1，∴e的最大值为

2

+1，故B不正确；
如图所示：F₁（-c，0）、F₂（c，0），设内切圆与x轴的切点是点H，PF₁、PF₂分 与内切圆的切点分别为M、N，
∵由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，由圆的切线长定理知，|PM|=|PN|，故|MF₁|-|NF₂ |=2a，
即|HF₁|-|HF₂|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，
故（x+c）-（c-x）=2a，∴x=a．故C不正确；
利用三角形外角平分线的性质，结合双曲线的定义，可知结论正确．
故选：D

点评：本题考查双曲线的定义、切线长定理，体现了转化的数学思想以及数形结合的数学思想．