Question

10．已知函数f（x）=|xe^x|，方程f²（x）-tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为（　　）

• A． $（\frac{{{e^2}+1}}{e}，+∞）$
• B． $（-∞，-\frac{{{e^2}+1}}{e}）$
• C． $（-\frac{{{e^2}+1}}{e}，-2）$
• D． $（2，\frac{{{e^2}+1}}{e}）$

Answer 1

分析 函数f（x）=|xe^x|化成分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（-∞，-1）上为增函数，在（-1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（-∞，0）上，当x=-1时有一个最大值 $\frac{1}{e}$，所以，要使方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在（0，$\frac{1}{e}）$，内，一个在（$\frac{1}{e}$，+∞）内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解t的取值范围．

解答 解：f（x）=|xe^x|=$\left\{\begin{array}{l}{x{e}^{x}…（x≥0）}\\{-x{e}^{x}…（x＜0）}\end{array}\right.$
当x≥0时，f′（x）=e^x+xe^x≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；
当x＜0时，f′（x）=-e^x-xe^x=-e^x（x+1），
由f′（x）=0，得x=-1，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）=-e^x（x+1）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（-1，0）时，f′（x）=-e^x（x+1）＜0，f（x）为减函数，
所以函数f（x）=|xe^x|在（-∞，0）上有一个最大值为f（-1）=-（-1）e^-1=$\frac{1}{e}$，
要使方程f²（x）-f（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，
令f（x）=m，则方程m²+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在（0，$\frac{1}{e}$），一个根在（$\frac{1}{e}，+∞）$内．
再令g（m）=m^2_-m+1，因为g（0）=1＞0，则只需g（$\frac{1}{e}$）＜0，即$（\frac{1}{e}）^{2}-\frac{1}{e}•t+1＜0$
t＞$\frac{{e}^{2}+1}{e}$．
故选：A．

点评 本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程f²（x）-f（x）+1=0（t∈R）有四个实数根时f（x）的取值情况，属于中高档题