【题目】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10
cm，容器Ⅱ的两底面对角线
，
的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将
放在容器Ⅰ中，的一端置于点A处，另一端置于侧棱
上，求没入水中部分的长度；
（2）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点E处，另一端置于侧棱
上，求没入水中部分的长度．
【答案】（1）16；（2）20．
【思路分析】（1）转化为直角三角形ACM中，利用相似性质求解AP1；（2）转化到三角形EGN中，先利用直角梯形性质求角
，再利用正弦定理求角
，最后根据直角三角形求高，即为
没入水中部分的长度．
【解析】（1）由正棱柱的定义，
平面
，所以平面
平面
，
．
记玻璃棒的另一端落在
上点
处．
因为
，所以
，从而
，
如图，
与水面的交点为
，过作P1Q1⊥AC，Q1为垂足，
则P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1=12，从而AP1=
．
答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)
（2）如图，O，O1是正棱台的两底面中心．
由正棱台的定义，OO1⊥平面EFGH，所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG．
同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1．
记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处．
过G作GK⊥E1G1，K为垂足，则GK =OO1=32．
因为EG = 14，E1G1= 62，
所以KG1=
，从而
．
设
则
．
因为
，所以
．
在
中，由正弦定理可得
，解得
．
因为
，所以
．
于是
．
记EN与水面的交点为P2，过P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则P2Q2⊥平面EFGH，
故P2Q2=12，从而EP2=
．
答：玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)
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【题目】某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜品 | 不喜欢甜品 | 合 计 | |
南方学生 | 60 | 20 | 80 |
北方学生 | 10 | 10 | 20 |
合 计 | 70 | 30 | 100 |
⑴根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差
异”；
⑵已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机
抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.
| 0.100 | 0.050 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 |
附： 
，
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【题目】选修
：坐标系与参数方程选讲.
在平面直角坐标系
中，曲线
（
为参数，实数
），曲线
（
为参数，实数
）. 在以
为极点， 
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
与
交于
两点，与
交于
两点. 当
时， 
；当
时， 
.
（1）求
的值； （2）求
的最大值.
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【题目】已知函数
， 
，函数
的图象在点
处的切线平行于
轴.
(1)求
的值；
(2)求函数
的极小值；
(3)设斜率为
的直线与函数
的图象交于两点
， 
， 
，证明： 
.
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【题目】如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．
现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝
，cos C＝
．
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
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【题目】据统计，截至2016年底全国微信注册用户数量已经突破9.27亿.为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从某市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：
（1）求
，
，
的值及样本中微信群个数超过12的概率；
（2）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过12的概率；
（3）以（1）中的频率作为概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记
表示抽到的是微信群个数超过12的人数，求的分布列及数学期望
.
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【题目】【2017唐山模拟】如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，连接BD，AC1，B1D1， CD1，B1C，现有以下几个结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；④CB1与BD为异面直线，其中所有正确结论的序号为________．
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