【题目】已知三次函数,下列命题正确的是 .
①函数关于原点
中心对称;
②以,
两不同的点为切点作两条互相平行的切线,分别与
交于
两点,则这四个点的横坐标满足关系
;
③以为切点,作切线与
图像交于点
,再以点
为切点作直线与
图像交于点
,再以点
作切点作直线与
图像交于点
,则
点横坐标为
;
④若,函数
图像上存在四点
,使得以它们为顶点的四边形有且仅有一个正方形.
【答案】①②④
【解析】试题分析:①函数满足是奇函数,所以关于原点(0,0)成中心对称,正确;②因为
,根据切线平行,得到
,所以
,根据①可知,
,以点A为切点的切线方程为
,整理得:
,该切线方程与函数
联立可得,
,所以
,同理:
,又因为
,代入关系式可得
,正确;③由②可知,以
为切点,作切线与
图像交于点
,再以点
为切点作直线与
图像交于点
,再以点
作切点作直线与
图像交于点
,此时满足
,
,
, 所以
,所以③错误;④当函数为
,设正方形ABCD的对角线AC所在的直线方程为
,设正方形ABCD的对角线BD所在的直线方程为
,
,解得:
,所以
,
同理:,因为
所以
,设
,即
,
,当
时,
,等价于
,解得
,
或
,
,所以正方形唯一确定,故正确选项为①②④.
【难点点睛】本题的难点是②和④,计算量都比较大,②的难点是过点A的切线方程与函数方程联立,得到交点C的坐标,这个求交点的过程需要计算能力比较好才可以求解出结果;④的难点是需根据正方形的几何关系,转化为代数运算,这种化归与转化会让很多同学感觉无从下手,同时运算量也比较大,稍有疏忽,就会出错,所以平时训练时,带参数的化简需所练习.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆x2+y2-6x-8y+21=0和直线kx-y-4k+3=0.
(1)若直线和圆总有两个不同的公共点,求k的取值集合
(2)求当k取何值时,直线被圆截得的弦最短,并求这最短弦的长.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某企业共有20条生产线,由于受生产能力和技术水平等因素的影响,会产生一定量的次品.根据经验知道,每台机器产生的次品数万件与每台机器的日产量
万件
之间满足关系:
.已知每生产1万件合格的产品可以以盈利3万元,但每生产1万件次品将亏损1万元.
(Ⅰ)试将该企业每天生产这种产品所获得的利润表示为
的函数;
(Ⅱ)当每台机器的日产量为多少时,该企业的利润最大,最大为多少?
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【题目】某企业共有20条生产线,由于受生产能力和技术水平等因素的影响,会产生一定量的次品.根据经验知道,每台机器产生的次品数万件与每台机器的日产量
万件
之间满足关系:
.已知每生产1万件合格的产品可以以盈利3万元,但每生产1万件次品将亏损1万元.
(Ⅰ)试将该企业每天生产这种产品所获得的利润表示为
的函数;
(Ⅱ)当每台机器的日产量为多少时,该企业的利润最大,最大为多少?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,
,动点
满足
(
且
).
(1)求动点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线;
(2)若,点
为动点
的轨迹曲线上的任意一点,过点
作圆:
的切线,切点为
.试探究平面内是否存在定点
,使
为定值,若存在,请求出点
的坐标,若不存在,请说明理由.
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