Question

【题目】已知圆x2+y2-6x-8y+21=0和直线kx-y-4k+3=0.

(1)若直线和圆总有两个不同的公共点，求k的取值集合

(2)求当k取何值时，直线被圆截得的弦最短，并求这最短弦的长.

Answer 1

【答案】（1）R（2）

【解析】【试题分析】（1）依据题设运用弦心距与半径之间的关系进行分析求解；（2）借助题设条件与直线与圆的位置关系分析探求：

解：（1）已知圆的方程为（x-3）2+（y-4）2=4，其圆心（3，4）到直线

kx-y-4k+3=0的距离为.

直线和圆总有两个不同的公共点，所以＜2，即（k+1）2＜4（1+k2），

即3k2-2k+3＞0.而3k2-2k+3=3（k-）2+＞0恒成立.所以k的取值集合为R

（2）由于当圆心到直线的距离最大时，直线被圆截得的弦最短，

而d=,当且仅当k=1时，“=”成立，即k=1时，dmax=.故当k=1时，直线被圆截得的弦最短，

该最短弦的长为。