Question

直三棱柱 中，，，

分别是、 的中点，，为棱上的点.

（1）证明：;

（2）是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为?若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）见解析；（2）当点为中点时，满足要求. 

解析：（1）证明： ，∥

    又 

面  又面

                        ………2分                                           

 以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系   

 则,,,,

 设 ，  且,即： 

                                           ………5分

                         ………6分

（2）假设存在,设面的法向量为   ，

   则    

     即：     令

   .                                ………8分

    由题可知面的法向量                    ………9分

   平面与平面 所成锐二面的余弦值为

      即： 

  或 （舍）                                 ………11分

   当点为中点时，满足要求.                       ………12分