Question

4．一几何体的三视图如图（网络中每个正方形的边长为1），若这个几何体的顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是20π．

Answer 1

分析 由三视图得到原几何体，然后利用补形思想得到四面体外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．

解答 解：由三视图得原直观图如图
原几何体为三棱锥A-BCD，满足AD⊥底面BCD，
底面BDC为等腰直角三角形，则该几何体的外接球即为以DA、DB、DC为棱的长方体的外接球，
外接球的直径D满足D²=DA²+DB²+DC²=4+8+8=20，
∴外接球O的半径为$\frac{1}{2}D=\sqrt{5}$，
∴球O的表面积是4π×$（\sqrt{5}）^{2}=20π$．
故答案为：20π．

点评 本题考查三视图，考查了球的表面积的求法，关键是通过补形得到四面体外接球的半径，是中档题．