Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点M（0，2），离心率e=

6

3

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线y=x+1与椭圆相交于A，B两点，求S_△AMB．

Answer 1

分析：（I）利用椭圆过点M（0，2），离心率e=

6

3

，求出几何量，即可得到椭圆的方程；
（Ⅱ）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求出|AB|，计算M到直线AB的距离，即可求S_△AMB．

解答：解：（Ⅰ）由题意得b=2，

c

a

=

6

3

结合a²=b²+c²，解得a²=12
所以，椭圆的方程为

x2

12

+

y2

4

=1．…（5分）
（Ⅱ）由

x2 12 + y2 4 =1 y=x+1

得x²+3（x+1）²=12…（6分）
即4x²+6x-9=0，经验证△＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
所以x1+x2=-

3

2

，x1•x2=-

9

4

，…（8分）
|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2(x1-x2)2

=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

3 10

2

…（11分）
因为点M到直线AB的距离d=

|0-2+1|

2

=

2

2

，…（13分）
所以S△AMB=

1

2

×|AB|×d=

1

2

×

3 10

2

×

2

2

=

3 5

4

．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，考查韦达定理的运用，属于中档题．