【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)若不等式对任意的正实数
都成立,求实数
的最大整数;
(3)当时,若存在实数
且
,使得
,求证:
.
【答案】(1)单调减区间为,单调增区间为
;(2)
;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)当时,
,通过求导得出函数的单调性;(2)由
可得
对任意的正实数都成立,等价于
对任意的正实数都成立,设
,求出
,即可求出实数
的最大整数;(3)由题意
,(
),得出
在
上为减函数,在
上为增函数,若存在实数
,
,则
介于
之间,根据函数单调性列出不等式组,即可求证.
试题解析:(1)当时,
当时,
,
∴函数在区间
上为减函数.
当时,
,令
,
当时,
;当
时,
,
∴函数在区间
上为减函数,在区间
上为增函数.
且,综上,
的单调减区间为
,单调增区间为
.
(2)由可得
对任意的正实数都成立,即
对任意的正实数都成立.
记,则
,可得
,
令
∴在
上为增函数,即
在
上为增函数
又∵,
∴存在唯一零点,记为
,
当时,
,当
时,
,
∴在区间
上为减函数,在区间
上为增函数.
∴的最小值为
.
∵,
∴,可得
.
又∵
∴实数的最大整数为2.
(3)由题意,(
),
令, 由题意可得,
,
当时,
;当
时,
∴函数在
上为减函数,在
上为增函数.
若存在实数,
,则
介于
之间,不妨设
.
∵在
上单减,在
上单增,且
,
∴当时,
,
由,可得
,故
,
又∵在
上单调递减,且
∴.
∴,同理
,则
,解得
∴.
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【题目】已知是二次函数,不等式
<0的解集是(0,5),且
在区间[-1,4]上的最大值是12.
(1)求的解析式.
(2)作出二次函数y=在
[-1,4]上的图像并求出值域.
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【题目】如图,双曲线的中心在坐标原点,焦点在轴上,
为双曲线的顶点,
为双曲线虚轴的端点,
为右焦点,延长
与
交于点
,若
是锐角,则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
以平面直角坐标系的原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点
的直角坐标为
,若直线
的极坐标方程为
,曲线
的参数方程是
,(
为参数).
(1)求直线的直角坐标方程和曲线
的普通方程;
(2)设直线与曲线
交于
两点,求
.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
过点
,其参数方程为
(
为参数,
),以
为极点,
轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)求已知曲线和曲线
交于
两点,且
,求实数
的值.
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【题目】对于定义域为的函数
,若存在区间
,同时满足下列条件:①
在
上是单调的;②当定义域是
时,
的值域也是
,则称
为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是()
A. B.
C.
D.
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【题目】设集合A={x|(x-3)(x+a)<0,a∈R},集合B={x∈Z|x2-3x-4<0}.
(1)若A∩B的子集个数为4,求a的范围;
(2)若a∈Z,当A∩B≠时,求a的最小值,并求当a取最小值时A∪B.
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【题目】如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为
A. 4β+4cosβB. 4β+4sinβC. 2β+2cosβD. 2β+2sinβ
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