Question

已知函数f（x）=ax-lnx
（I）当a=1时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）当a＞0时，求f（x）在[1，e]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求导后判断原函数在定义域内不同区间上的单调性，求出极小值点，得到极小值，从而求得最小值；
（Ⅱ）利用函数的导函数求出原函数的单调区间，然后通过对a的取值范围讨论得到函数f（x）在[1，e]上的单调情况，利用函数f（x）在区间（1，e）上的极值与端点处的函数值的大小比较求得f（x）在[1，e]上的最大值与最小值．

解答：解：（I）当a=1时，f（x）=x-lnx（x＞0），
f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

．
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以当x=1时f（x）取得极小值，也是最小值为f（1）=1．
（II）由f（x）=ax-lnx（x＞0）．
则f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

．
由f′（x）＞0，得x＞

1

a

，由f′（x）＜0，得0＜x＜

1

a

．
所以f（x）在(0，

1

a

)上为减函数，在(

1

a

，+∞)上为增函数．
当0＜a≤

1

e

时，f_min=f（e）=ae-1，

f

max

=f(1)=a．
当

1

e

＜a≤

1

e-1

时，fmin=f(

1

a

)=1+lna，

f

max

=f(1)=a．
当

1

e-1

＜a＜1时，fmin=f(

1

a

)=1+lna，

f

max

=f(e)=ae-1．
当a≥1时，f_min=f（1）=a，

f

max

=f(e)=ae-1．

点评：本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了分类讨论得数学思想方法，正确的分类是解答该题的关键，此题属中档题．