Question

17．若 sinα+cosα=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，α为锐角，则$\frac{1+tanα}{sin2α-cos2α+1}$=3．

Answer 1

分析 由sinα+cosα=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$两边平方，求出2sinαcosα的值，再利用二倍角公式和同角的三角函数关系化简求值即可．

解答 解：由sinα+cosα=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
两边平方得：1+2sinαcosα=$\frac{4}{3}$，
解得，2sinαcosα=$\frac{1}{3}$；
∴$\frac{1+tanα}{sin2α-cos2α+1}$=$\frac{1+\frac{sinα}{cosα}}{2sinαcosα{+2sin}^{2}α}$
=$\frac{\frac{cosα+sinα}{cosα}}{2sinα（cosα+sinα）}$
=$\frac{1}{2sinαcoα}$
=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了二倍角公式和同角的三角函数关系化简求值的应用问题．