Question

设角α∈（0，

π

2

），f（x）的定义域为[0，1]，f（0）=0，f（1）=1，当x≥y时，有f（

x+y

2

）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）
（1）求f（

1

2

）、f（

1

4

）的值；
（2）求α的值；（3）设g（x）=4sin（2x+α）-1，且lgg（x）＞0，求g（x）的单调区间．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）令x=1、y=0代入可得f（

1

2

）；令x=

1

2

、y=0代入可得f（

1

4

），
（2））令x=1、y=

1

2

代入可得f（

3

4

），再利用第（1）问的结果；
（3））由lgg（x）＞0，得g（x）＞1，进一步不等式化为4sin(2x+

π

6

)-1＞1，结合正弦曲线求出单调区间．

解答： 解：（1）f(

1

2

)=f(

1+0

2

)=f(1)sinα+(1-sinα)f(0)=sinα
f(

1

4

)=f(

1 2 +0

2

)=f(

1

2

)sinα+(1-sinα)f(0)=sin2α
（2）f(

3

4

)=f(

1+ 1 2

2

)=f(1)sinα+(1-sinα)f(

1

2

)=sinα+(1-sinα)sinα=2sinα-sin2αf(

1

2

)=f(

3 4 + 1 4

2

)=f(

3

4

)sinα+(1-sinα)f(

1

4

)=(2sinα-sin2α)sinα+(1-sinα)sin2α=3sin2α-2sin3α
∴sinα=3sin²α-2sin³α，解得sinα=0或sinα=1或sinα=

1

2

∵α∈（0，

π

2

），
∴sinα=

1

2

，α=

π

6

（3）∵lgg（x）＞0，∴g（x）＞1，
∴4sin(2x+

π

6

)-1＞1
∴sin（2x+

π

6

）＞

1

2

，∴

π

6

+2kπ≤2x+

π

6

≤

5π

6

+2kπ，k∈Z
由函数图象可知，g（x）的递增区间为

π

6

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，∴kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z，故递增区间为[kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）；
g（x）的递减区间为

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

5π

6

+2kπ，∴

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z，故递减区间为[

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]（k∈Z）．

点评：本题主要考查抽象函数的性质，同时考查三角函数的内容，本题根据抽象函数所给的条件利用赋值法是解决本题的关键．