Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为

2

2

，且椭圆经过圆C：x²+y²-8x+2y-28=0的圆心C．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l过椭圆的左焦点且与圆C相切，求直线l的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出圆心，设出椭圆方程，代入椭圆方程，再由离心率公式，解方程即可得到椭圆方程；
（2）设出直线的方程为y=k（x+3），由直线和圆相切的条件：d=r，解方程，求得k，即可得到所求直线方程．

解答： 解：（1）∵圆C方程化为：（x-4）²+（y+1）²=45，
故圆心为C（4，-1），
设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则

16 a2 + 1 b2 =1 c a = 2 2

解得，

a2=18 b2=9

，
∴所求的椭圆的方程是：

x2

18

+

y2

9

=1；
（2）∵由（1）可知椭圆的左焦点是（-3，0），
∴可设直线l的方程为y=k（x+3），即kx-y+3k=0，
∵直线l与圆C相切，且圆C的半径为3

5

，
∴

|4k+1+3k|

1+k2

=3

5

   整理得2k²+7k-22=0，
解得k=-

11

2

或k=2，
∴直线l的方程为11x+2y+33=0或2x-y+6=0．

点评：本题考查椭圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，及直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．