Question

10．函数f（x）的定义域为实数R，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^x}-1，-1≤x＜0\\{log_2}（x+1），0≤x＜3.\end{array}$对任意的x∈R都有f（x+2）=f（x-2）．若在区间[-5，3]上函数g（x）=f（x）-mx+m恰好有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $（-\frac{1}{2}，-\frac{1}{6}）$
• B． $[-\frac{1}{2}，-\frac{1}{6}）$
• C． $（-\frac{1}{2}，-\frac{1}{3}）$
• D． $[-\frac{1}{2}，-\frac{1}{3}]$

Answer 1

分析 由函数的性质得到周期性，由函数零点转换为两图象相交，由数形结合得到m的范围．

解答 解：∵任意的x∈R都有f（x+2）=f（x-2）．
∴函数f（x）的周期是4，
∵在区间[-5，3]上函数g（x）=f（x）-mx+m恰好有三个不同的零点，
即函数f（x）与函数h（x）=mx-m在区间[-5，3]上有三个不同的交点，
在同一直角坐标系上画出两个函数的图象：
得到$\frac{1-0}{-1-1}$≤m＜$\frac{1-0}{-5-1}$
即-$\frac{1}{2}$≤m＜-$\frac{1}{6}$，
故选B．

点评 本题考查函数的性质，函数零点转换，数形结合．