Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点M是BC的中点，AB=2，BB₁=

3

（Ⅰ）求直线B₁M与平面AB₁C₁所成角的正弦；
（Ⅱ）求异面直线B₁M与AC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面所成的角

专题：

分析：（1）设N为B₁C₁中点，连接MN，AM，以点M为原点，分别以MA，MC，MN为x，y，z轴，建立空间直角坐标系M-xyz，利用向量法能求出直线B₁M与平面AB₁C₁所成角的正弦的值．
（2）由（1）知

AC

=（

3

，1，0），

AM

=（

3

，0，0），设直线B₁M与AC的公垂线方向向量为

u

=（x，y，z），由此能求出异面直线B₁M与AC的距离．

解答： 解：（1）设N为B₁C₁中点，连接MN，AM，
因为M为BC中点．所以MN∥BB₁．
又因为ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱
所以MN⊥底面ABC，AM⊥BC，
所以MA，MC，MN互相垂直，
以点M为原点，分别以MA，MC，MN为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系M-xyz，
因为AB=2，BB1=

3

，
则M（0，0，0），A（-

3

，0，0），C（0，1，0），B1(0，-1，

3

)，C1(0，1，

3

)，

B1M

=（0，1，-

3

），

AC1

=（

3

，1，

3

），

B1C1

=（0，2，0），
设平面AB₁C₁的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • AC1 = 3 x+y+ 3 z=0 n • B1C1 =2y=0

，取x=1，得

n

=（1，0，-1）．
所以cos＜

B1M

，

n

＞=

6

4

，
所以直线B₁M与平面AB₁C₁所成角的正弦的值为

6

4

．
（2）由（1）知

AC

=（

3

，1，0），

AM

=（

3

，0，0），
设直线B₁M与AC的公垂线方向向量为

u

=（x，y，z），
解得

u

=（-1，

3

，1），
所以异面直线B₁M与AC的距离：
d=

| AM • μ |

| μ |

=

15

5

．

点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查异面直线的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．