Question

【题目】已知为实数，数列满足，.

（Ⅰ）当和时，分别写出数列的前5项；

（Ⅱ）证明：当时，存在正整数，使得；

（Ⅲ）当时，是否存在实数及正整数，使得数列的前项和？若存在，求出实数及正整数的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见解析

【解析】

（I）利用递推公式，依次计算出的值.（II）当时，，此时数列为递减的等差数列，且公差为，故总有一项是不大于的.根据这一项在之间讨论，结合数列的递推公式，判断出正整数存在.（III）将分成三类，求得的表达式，由此判断出不存在实数正整数，使得.

（Ⅰ）当时，；

当时，.

（Ⅱ）当时，. 所以，在数列中直到第一个小于等于的项出现之前，数列是以为首项，为公差的递减的等差数列.

即.

所以，当足够大时，总可以找到，使.

（1）若，令，则存在正整数，使得.

（2）若，因为，则，

令，则存在正整数，使得.

综述所述，则存在正整数，使得.

（Ⅲ）①当时，

当时，，

当时，（），

令，，而此时为奇数，所以不成立；又不成立，所以不存在正整数，使得.

②当时，……

所以数列的周期是4，

当，时，；

当，时，；

当，时，；

当，时，.

所以（）.

所以或者是偶数，或者不是整数，即不存在正整数，使得.

③当时，

（），不存在正整数，使得.

综述所述，不存在实数正整数，使得.