Question

7．给出下列四个命题：
①函数f（x）=lnx-2+x在区间（1，e）上存在零点；
②在△ABC中，已知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=-12，则|$\overrightarrow{AB}$|=4；
③“a=1”是“函数$f（x）=\frac{{a-{e^x}}}{{1+a{e^x}}}$在定义域上是奇函数”的充分不必要条件；
④若命题p是：对任意的x∈R，都有sinx＜1，则?p为：存在x∈R，使得sinx＞1．
其中所有真命题的序号是①②③．

Answer 1

分析 ①根据函数零点的存在条件进行判断即可．
②根据向量的数量积运算进行判断．
③根据函数奇偶性的定义以及充分条件和必要条件进行判断．
④根据含有量词的命题的否定进行判断即可．

解答 解：①函数f（x）=lnx-2+x在区间（1，e）上为增函数，
∵f（1）=ln1-2+1=-1＜0，f（e）=lne-2+e=e-1＞0，
∴函数f（x）在区间（1，e）上存在零点；
②在△ABC中，已知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=-12，
则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=16，
即$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{BC}$）=$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$）=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AB}$=16，
|$\overrightarrow{AB}$|=4；故②正确，
③若“函数$f（x）=\frac{{a-{e^x}}}{{1+a{e^x}}}$在定义域上是奇函数”，
则$f（-x）=\frac{a-{e}^{-x}}{1+a{e}^{-x}}$=$\frac{a{e}^{x}-1}{{e}^{x}+a}$=$-f（x）=-\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$，即解得a=±1，故“a=1”是函数$f（x）=\frac{{a-{e^x}}}{{1+a{e^x}}}$在定义域上是奇函数的充分不必要条件正确；故③正确，
④若命题p是：对任意的x∈R，都有sinx＜1，则￢p为：存在x∈R，使得sinx≥1．故④错误，
故答案为：①②③．

点评 本题是命题的真假判断为载体考查了函数的零点，奇函数的定义，函数图象的平移，函数的对称性，是函数与逻辑的综合应用．综合性较强难度不大．