Question

17．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，$a{cos^2}\frac{C}{2}+c{cos^2}\frac{A}{2}=\frac{3b}{2}$，则sinA•sinC的最大值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理以及基本不等式求解表达式的最值即可．

解答 解：由正弦定理得：sinAcos²$\frac{C}{2}$+sinCcos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$sinB，
即sinA•$\frac{1+cosC}{2}$+sinC•$\frac{1+cosA}{2}$=$\frac{3}{2}$sinB，
∴sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，
∵sin（A+C）=sinB，
∴sinA+sinC=2sinB，a+c=2b，由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-\frac{1}{4}（{a+c）}^{2}}{2ac}$=$\frac{3}{8}$•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{ac}$-$\frac{1}{4}$≥$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，
则B≤$\frac{π}{3}$．
sinA•sinC≤$（{\frac{sinA+sinC}{2}）}^{2}$=sin²B≤$\frac{3}{4}$．当且仅当三角形是正三角形时，取得最大值．
sinA•sinC的最大值为$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查基本不等式的应用，正弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．