Question

17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若$\frac{{|f（lnx）-f（ln\frac{1}{x}）|}}{2}＞f（1）$，则x的取值范围是（　　）

• A． $（-∞\;，\;\;\frac{1}{e}）$
• B． （e，+∞）
• C． $（\frac{1}{e}\;，\;\;e）$
• D． $（0\;，\;\;\frac{1}{e}）$∪（e，+∞）

Answer 1

分析 由f（x）为定义在R上的奇函数便可得到f（lnx）-f（ln$\frac{1}{x}$）=2f（lnx），从而由原不等式可得到|f（lnx）|＞f（1），进一步便得到f（lnx）＜-f（1）或f（lnx）＞f（1），可以说明f（x）在R上单调递增，从而便得到lnx＜-1或lnx＞1，这样便可得出原不等式的解集．

解答 解：f（x）为定义在R上的奇函数；
∴f（lnx）-f（ln$\frac{1}{x}$）=f（lnx）+f（lnx）=2f（lnx）；
∴由$\frac{{|f（lnx）-f（ln\frac{1}{x}）|}}{2}＞f（1）$得，|f（lnx）|＞f（1）；
∴f（lnx）＜-f（1）或f（lnx）＞f（1）；
又f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（-∞，0]上为增函数；
∴f（x）在R上为增函数；
∴lnx＜-1或lnx＞1；
∴0＜x＜$\frac{1}{e}$或x＞e
∴原不等式的解集为（0，$\frac{1}{e}$）∪（e，+∞）
故选：D．

点评 考查奇函数的定义，对数的运算性质，以及绝对值不等式的解法，奇函数在对称区间上的单调性特点，以及增函数的定义，对数函数的单调性．