Question

已知数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是等比数列，且对任意的n∈N^*，都有a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=n•2ⁿ⁺³．
（Ⅰ）若{b_n}的首项为4，公比为2，求数列{a_n+b_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）若a_n=4n+4，试探究：数列{b_n}中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它r（r∈N，r≥2）项的和？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）再写一式，两式相减，可得数列的通项，即可求数列{a_n+b_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）因为a_n=4n+4，a_nb_n=（n+1）•2ⁿ⁺²，所以bn=2n，假设数列{b_n}中第k项可以表示为该数列中其它r，r∈N，r≥2）项b_t1，…，b_tr，（t₁＜t₂＜…＜t_r）的和，可得k≥t_r+1根据等比数列的求和公式，可得k＜t_r+1，从而可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）因为a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=n•2ⁿ⁺³，
所以当n≥2时，a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=（n-1）•2ⁿ⁺²，
两式相减，得a_nb_n=n•2ⁿ⁺³-（n-1）•2ⁿ⁺²=（n+1）•2ⁿ⁺²，
而当n=1时，a₁b₁=16，适合上式，从而a_nb_n=（n+1）•2ⁿ⁺²，…（3分）
又因为{b_n}是首项为4，公比为2的等比数列，即b_n=2ⁿ⁺¹，
所以a_n=2n+2，…（4分）
从而数列{a_n+b_n}的前n项和S_n=

n(4+2n+2)

2

+

4(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺²+n²+3n-4；…（6分）
（Ⅱ）因为a_n=4n+4，a_nb_n=（n+1）•2ⁿ⁺²，所以bn=2n，…．（8分）
假设数列{b_n}中第k项可以表示为该数列中其它r，r∈N，r≥2）项b_t1，…，b_tr，（t₁＜t₂＜…＜t_r）的和，
即b_k=b_t1+…+b_tr，从而2^k=2t1+…+2tr，易知k≥t_r+1，（*） …（9分）
又2^k=2t1+…+2tr≤2+2²+…+2tr=

2(1-2tr)

1-2

=2tr+1-1＜2tr+1，
所以k＜t_r+1，此与（*）矛盾，从而这样的项不存在． …（12分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．