Question

已知函数f（x）=

2

x2

．
（1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）内的单调性并证明；
（2）当x∈[1，+∞）时，求f（x）的最大值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）可以利用函数单调性定义加以证明，得到本题结论；（2）利用已证明的函数单调性，可得到函数的值域，从而得到函数最大值，得到本题结论．

解答： 解：（1）结论：函数f（x）在区间（0，+∞）内的单调递减，以下证明．
证明：在区间（0，+∞）内任取两个自变量的值x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=

2

x22

-

2

x12

=

2(x12-x22)

x12•x22

=

2(x1-x2)(x1+x2)

x12•x22

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁+x₂＞0，x₁-x₂＜0，x₁²•x22＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁）．
∴函数f（x）在区间（0，+∞）内的单调递减．
（2）由（1）知：函数f（x）在区间（0，+∞）内的单调递减，
∴当x≥1时，f（x）≤f（1）=

2

12

=2．
∴当x∈[1，+∞）时，f（x）的最大值为2．

点评：本题考查了函数的单调性定义及其应用，本题难度不大，属于基础题．