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已知函数f(x)=ax-1+1(a>0且a≠1)的图象恒过点M,点M在直线
x
m
+
y
n
=1(mn<0)上,则该直线在两坐标轴上的截距之和的最大值为
3-2
2
3-2
2
分析:最值问题经常利用均值不等式求解,适时应用“1”的代换是解本题的关键.函数y=ax-1+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点M,知M(1,2),点M在直线
x
m
+
y
n
=1上,得
1
m
+
2
n
=1
又mn<0.下用1的变换构造出可以用基本不等式来求最值.
解答:解:由已知定点M坐标为(1,2),由点M在直线
x
m
+
y
n
=1上,
1
m
+
2
n
=1

又mn<0,
∴m+n=(
1
m
+
2
n
)
(m+n)=3-[(-
n
m
)+(-
2m
n
)]≤3-2•
n
m
2m
n
=3-2
2

当且仅当
n
m
=
2m
n
时取等号.
故答案为:3-2
2
点评:当均值不等式中等号不成立时,常利用函数单调性求最值.也可将已知条件适当变形,再利用均值不等式,使得等号成立.均值不等式是不等式问题中的确重要公式,应用十分广泛.在应用过程中,学生常忽视“等号成立条件”,特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

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1
4
)
时,求f(x)的最大值;
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(-∞,-2)
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