Question

12．如果关于x的方程x²-ax+a²-3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． -2＜a＜2
• B． $\sqrt{3}＜a≤2$
• C． $-\sqrt{3}＜a≤2$
• D． $-\sqrt{3}≤a≤2$

Answer 1

分析 关于x的方程x²-ax+a²-3=0至少有一个正根?（1）当方程只有一个根，且为正根，（2）当方程有两个根①方程的两个根中只有一个正根，一个复根或零根，②若方程有两个正根，结合二次方程的根的情况可求．

解答 解：∵△=a²-4（a²-3）=12-3a²
（1）当方程只有一个根时，△=0，此时a=±2，
若a=2，此时方程x²-2x+1=0的根x=1符合条件，
若a=-2，此时方程x²+2x+1=0的根x=-1不符舍去；
（2）当方程有两个根时，△＞0可得-2＜a＜2
①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a²-3≤0，解可得-$\sqrt{3}$≤a≤$\sqrt{3}$，
a=-$\sqrt{3}$时，方程x²-ax+a²-3=0没有正根，舍去，
故-$\sqrt{3}$＜a≤$\sqrt{3}$符合条件
②若方程有两个正根，则 $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{a}^{2}-3＞0}\end{array}\right.$，解可得a＞$\sqrt{3}$，
综上可得，-$\sqrt{3}$＜a≤2
故选：C．

点评 本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题．