Question

1．函数y=4sinx-cos2x（x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]）的值域是[$-\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 利用二倍角的余弦公式变形化简函数解析式，由换元法、正弦函数、二次函数的性质求出值域．

解答 解：由题意得，y=4sinx-cos2x=4sinx-（1-2sin²x）
=2sin²x+4sinx-1，
设t=sinx，由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]得t∈[$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
则原函数变为：y=2t²+4t-1=2（t+1）²-3，
又函数y=2t²+4t-1在[$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上递增，
则当t=$-\frac{1}{2}$时，函数取到最小值是：$2{（-\frac{1}{2}+1）}^{2}-3$=$-\frac{5}{2}$，
当t=$\frac{1}{2}$时，函数取到最大值是：$2{（\frac{1}{2}+1）}^{2}-3$=$\frac{3}{2}$，
所以函数的值域是[$-\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
故答案为：[$-\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查了正弦函数、二次函数的性质，二倍角的余弦公式，以及换元法求函数的值域，属于中档题．