Question

某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150m处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200m处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，且比赛结束．已知射手甲在100m处击中目标的概率为，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．
（1）求射手甲在这次射击比赛中命中目标的概率；
（2）求射手甲在这次射击比赛中得分的数学期望．

Answer 1

（1）

．
（2）．

本试题主要是考查了概率、独立事件概率的乘法公式，以及对立事件的运用。
（1）根据已知条件，设出所求解的事件，然后利用独立事件的乘法公式分情况讨论，结合互斥事件的加法公式得到结论。
（2）根据随机变量射手甲得分为X，根据得分的情况分别求解概率值，得到分布列和期望值。
解：记第一、二、三次射击命中目标分别为事件，三次都未击中目标为事件D，依题意，设在m处击中目标的概率为，则，且，
，即，                                。。。。。。。。。。
，，．。。。。。。。。。。。。
（1）  由于各次射击都是相互独立的，
∴该射手在三次射击中击中目标的概率


．                  。。。。。
（2）依题意，设射手甲得分为X，则，
，，，。。。。。。。
．   。。。。。。。。。。。。。。。。。。