Question

5．已知函数f（x）=$\frac{4-x}{ax}$+lnx．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-$\frac{x}{a}$在区间（1，3）上不单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，f（x）=$\frac{4-x}{x}$+lnx，求导，令f′（x）＞0，求得f（x）的单调递增区间，当f′（x）＜0，求得f（x）的单调递减区间；
（2）g（x）=f（x）-$\frac{x}{a}$=$\frac{4-x}{ax}$+lnx-$\frac{x}{a}$，求导g′（x）=-$\frac{{x}^{2}-ax+4}{a{x}^{2}}$，由题意可得：方程x²-ax+4=0在区间（1，3）上有根，即方程a=x+$\frac{4}{x}$在区间（1，3）上有根，根据函数的单调性，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=$\frac{4-x}{x}$+lnx，求导f′（x）=$\frac{x-4}{{x}^{2}}$（x＞0）_--------（2分）
令f′（x）＞0，解得：x＞4，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜4_{------------------------}（4分）
∴f（x）的单调减区间为（0，4），
f（x）的单调增区间为（4，+∞）；　_{------------------------------------------------------}（6分）
（2）g（x）=f（x）-$\frac{x}{a}$=$\frac{4-x}{ax}$+lnx-$\frac{x}{a}$，
求导g′（x）=-$\frac{{x}^{2}-ax+4}{a{x}^{2}}$_{，------------------------------------}（8分）
∵函数g（x）在区间（1，3）上不单调
∴方程x²-ax+4=0在区间（1，3）上有根，
即方程a=x+$\frac{4}{x}$在区间（1，3）上有根，
∴4＜a＜5_{---------------------------}（14分）

点评 本题考查导数研究函数的最值，单调性等问题，考查导数的求导公式，考查计算能力，属于中档题．