Question

16．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值-3．
（1）求此函数解析式；
（2）写出该函数的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）根据题意，函数的最值可以确定A，根据在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值-3，可以确定函数的周期，从而求出ω的值和φ的值，从而求得函数的解析式；
（2）令 2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{5}$x+$\frac{3π}{10}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解此不等式，即可求得函数的单调递增区间；

解答 解：（1）∵当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值-3．
∴A=$\frac{1}{2}$[3-（-3）]=3，$\frac{T}{2}$=5π，
∴T=10π=$\frac{2π}{ω}$，
∴ω=$\frac{2π}{10π}$=$\frac{1}{5}$，
∵当x=π时，y有最大值3，
∴$\frac{1}{5}$π+φ=$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{3π}{10}$，
∴y=3sin（$\frac{1}{5}$x+$\frac{3π}{10}$），
（2）令 2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{5}$x+$\frac{3π}{10}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得：10kπ-4π≤x≤10kπ+π，k∈Z，
故函数的单调递增区间为：{x|10kπ-4π≤x≤10kπ+π   k∈Z}．

点评 本题考查根据y=Asin（ωx+φ）的图象求函数的解析式以及求函数的单调区间，考查灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，体现了数形结合的数学思想方法，属于中档题．