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    已知抛物线上的任意一点到该抛物线焦点的距离比该点到轴的距离多1．

    （1）求的值；
    （2）如图所示，过定点（2，0）且互相垂直的两条直线、分别与该抛物线分别交于、、、四点．
    （i）求四边形面积的最小值；
    （ii）设线段、的中点分别为、两点，试问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
    （1）（2）（i）四边形面积的最小值是48（ii）

    试题分析：（1）直接利用抛物线的定义
    （2）（i）S四边形ABCD，，利用弦长
    公式，以及基本不等式，二次函数在闭区间上的最值问题
    的解法求解
    （ii）恒过定点问题的常规解法
    试题解析：
    （1）由已知∴
    （2）（i）由题意可设直线的方程为（），代入得
    设则，
    ∴
        6分
    同理可得                  7分
    S四边形ABCD
     8分
    设则∴S四边形ABCD
    ∵函数在上是增函数
    ∴S四边形ABCD，当且仅当即即时取等号
    ∴四边形面积的最小值是48.   9分
    （ii）由①得∴∴
    ∴，        11分
    同理得       12分
    ∴直线的方程可表示为

    即
    当时得
    ∴直线过定点（4,0）.                    14分
    注：第（2）中的第（i）问：
    S四边形ABCD

    （当且仅当时取等号）也可.
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    已知抛物线．
    (1)若圆心在抛物线上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线相切，求所有的圆都经过的定点坐标；
    (2)抛物线的焦点为,若过点的直线与抛物线相交于两点,若,求直线的斜率；
    (3)若过正半轴上点的直线与该抛物线交于两点,为抛物线上异于的任意一点,记连线的斜率为试求满足成等差数列的充要条件．

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    若动点与定点和直线的距离相等，则动点的轨迹是（  ）
    A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线

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    已知直线（k＞0）与抛物线相交于、两点，为的焦点，若，则k的值为(   )
    A．B．C．D．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    抛物线上一点的横坐标为，则点与抛物线焦点的距离为________.

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    已知直线 (k＞0)与抛物线相交于A、B两点，为的焦点，若，则k的值为
    A．B．C．D．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽        米.

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F在x轴上．

    (1)求抛物线C的标准方程；
    (2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；
    (3)设过点M(m，0)(m>0)的直线交抛物线C于D、E两点，ME＝2DM，记D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图所示,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-时,切线MA的斜率为-.

    (1)求p的值;
    (2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).

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