Question

8．如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E是PD的中点．
（1）求证：PB∥平面EAC；
（2）求证：平面PDC⊥平面PAD．

Answer 1

分析 （1）证明线与面平行，可运用线与面平行的判定定理，转化为证线与平面内的线平行来证，结合题目中的中点条件，可运用中位线的性质得证；
（2）证明面面垂直，可利用面面垂直的判定定理，即：化为线与面的垂直来证，由题条件可发现CD⊥平面PAD，则可证得．

解答 证明：（1）连结BD交AC于O，连结EO，则EO是△PBD的中位线，
∴EO∥PB，
又PB?平面EAC，EO?平面EAC，
∴PB∥平面EAC；
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABC，
∴PA⊥CD．
∵ABCD是矩形，
∴AD⊥CD．
而PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
又CD?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD．

点评 本题考查线面平行与面面垂直的判断，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．