Question

（2009•深圳一模）若不等式|a﹣1|≥x+2y+2z，对满足x2+y2+z2=1的一切实数x、y、z恒成立，则实数a的取值范围是 ．

 

Answer 1

a≥4或a≤﹣2．

【解析】

试题分析：不等式|a﹣1|≥x+2y+2z恒成立，只要|a﹣1|≥（x+2y+2z）max，利用柯西不等式9=（12+22+22）•（x2+y2+z2）≥（1•x+2•y+2•z）2求出x+2y+2z的最大值，再解关于a的绝对值不等式即可．

【解析】
由柯西不等式9=（12+22+22）•（x2+y2+z2）≥（1•x+2•y+2•z）2

即x+2y+2z≤3，当且仅当

即 ，，时，x+2y+2z取得最大值3．

∵不等式|a﹣1|≥x+2y+2z，对满足x2+y2+z2=1的一切实数x，y，z恒成立，

只需|a﹣1|≥3，解得a﹣1≥3或a﹣1≤﹣3，∴a≥4或∴a≤﹣2．

即实数的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．

故答案为：a≥4或a≤﹣2．