Question

【题目】已知抛物线：的焦点为，点在上且其横坐标为1，以为圆心、为半径的圆与的准线相切.

（1）求的值；

（2）过点的直线与交于，两点，以、为邻边作平行四边形，若点关于的对称点在上，求的方程.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

(1)本题可以根据“点到准线的距离”等于“点到焦点的距离”得出的长，再根据“圆心到准线的距离”以及“点到焦点的距离”都是圆的半径即可列出算式并得出结果；

(2)首先可以根据题意画出图形，然后设出直线的方程以及直线的方程，再然后通过联立方程组求出点的纵坐标以及点的纵坐标之和，最后通过计算出点的纵坐标并与点的纵坐标进行比较即可计算出的值并得出结果。

（1）圆心到准线的距离为，因为点的横坐标为1，所以，

依题意，有，所以。

（2）如图所示，设点关于的对称点为，与的交点为，线段与直线的交点为，设直线的方程为，

将点的横坐标为带入抛物线方程中可得，

因为、分别为和的中点，所以，直线的方程为，

联立方程组，得，

因为是该方程的一个根，所以它的另一个根为，即点的纵坐标为.

联立方程组，得，

设，，则，

设，因为是平行四边形，所以，

即，

所以，即.

所以点与点的纵坐标相等，轴，

因为，所以，的方程为。