Question

已知cos2α=

-4

5

，sin2α＞0，且tan（2α+θ）=1，则sinθ-cosθ=

 

．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：根据cos2α的值及sin2α大于0，利用同角三角函数间基本关系求出sin2α的值，进而求出tan2α的值，利用两角和与差的正切函数公式化简tan（2α+θ）=1，求出tanθ的值，得到sinθ与cosθ同号，利用同角三角函数间基本关系求出sinθ与cosθ的值，即可确定出sinθ-cosθ的值．

解答： 解：∵cos2α=-

4

5

，sin2α＞0，
∴sin2α=

1-cos22α

=

3

5

，
∴tan2α=-

3

4

，
∵tan（2α+θ）=

tan2α+tanθ

1-tan2αtanθ

=

- 3 4 +tanθ

1+ 3 4 tanθ

=1，
整理得：tanθ=7，即

sinθ

cosθ

=7，
∴sinθ与cosθ同号，
∴cosθ=±

1 1+tan2θ

=±

2

10

，
∴sin²θ=1-cos²θ=

49

50

，即sinθ=±

7 2

10

，
当cosθ=

2

10

时，sinθ=

7 2

10

，此时sinθ-cosθ=

3 2

5

；当cosθ=-

2

10

时，sinθ=-

7 2

10

，此时sinθ-cosθ=-

3 2

5

．
故答案为：±

3 2

5

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键．