Question

16．已知幂函数f（x）=x${\;}^{{n}^{2}-2n-3}$（n∈Z）的图象与两坐标轴都无公共点，且图象关于y轴对称，求n的值并根据图象解不等式f（x）＞x²⁰¹⁶．

Answer 1

分析 由条件利用幂函数的性质可得得n²-2n-3为负偶数，可得n=1，由不等式可得即x^-4＞x²⁰¹⁶，故函数f（x）的图象应在函数y=x²⁰¹⁶的图象的上方，数形结合求得x的范围．

解答 解：幂函数f（x）=x${\;}^{{n}^{2}-2n-3}$（n∈Z）的图象与两坐标轴
都无公共点，且图象关于y轴对称，
可得n²-2n-3=（n-3）（n+1）＜0，
且n²-2n-3=（n-3）（n+1）为偶数，
故n=1，f（x）=$\frac{1}{{x}^{4}}$，
作出f（x）的图象，如图红色部分，
再作出y=x²⁰¹⁶的图象，如图蓝色部分，
不等式f（x）＞x²⁰¹⁶，即x^-4＞x²⁰¹⁶，
故函数f（x）的图象应在函数y=x²⁰¹⁶的图象的上方，
结合图象可得-1＜x＜1，且x≠0，
故不等式的解集为 {x|-1＜x＜1且x≠0 }．

点评 本题主要考查函数的图象特征，幂函数的图象，属于中档题．