Question

设函数f（x）=[x]-1，x∈（0，+∞）（其中[x]表示不超过x的最大整数，如[

1

3

]=0，[

6

3

]=1，[2]=2），则方程f（x）-log₂x=0的根的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、无数个

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：由方程f（x）-log₂x=0，得程f（x）=log₂x，然后根据定义分别讨论f（x）的表达式，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：由方程f（x）-log₂x=0，得程f（x）=log₂x，
当0＜x＜1，[x]=0，则f（x）=[x]-1=-1，此时log₂x＜0，由f（x）=log₂x=-1，解得x=

1

2

，
当1≤x＜2，[x]=1，则f（x）=[x]-1=1-1=0，由f（x）=log₂x=0，解得x=1，满足条件，
当2≤x＜3，[x]=2，则f（x）=[x]-1=2-1=1，由f（x）=log₂x=1，解得x=2，满足条件，
当3≤x＜4，[x]=3，则f（x）=[x]-1=3-1=2，由f（x）=log₂x=2，解得x=4，不满足条件，
当4≤x＜5，[x]=4，则f（x）=[x]-1=4-1=3，此时log₂x＜3，此时方程无解，不满足条件，
…
当n≤x＜n+1，（n≥5），[x]=，n，则f（x）=[x]-1=n-1=3，此时方程无解，不满足条件，
故方程f（x）-log₂x=0的根的个数是3个．
故选：C

点评：本题主要考查方程根的个数以及[x]的应用，利用分段函数求出f（x）的表达式，以及利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强．