Question

【题目】定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，2）时， ；②x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次为x1 ， x2 ， x3 ， …xn ， …，若 ，则x1+x2+…+x2n= ．

Answer 1

【答案】6×（2n﹣1）
【解析】解：∵①当x∈[1，2）时， ；②x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）． 当x∈[2，4）时， ∈[1，2），
f（x）=2f（ x）=2（ ﹣| ﹣ |）=1﹣|x﹣3|，x∈[4，8）时， ∈[2，4），
f（x）=2f（ x）=2（1﹣| x﹣3|）=2﹣|x﹣6|，
同理，则 ，F（x）=f（x）﹣a在区间（2，3）和（3，4）上各有1个零点，分别为x1 ， x2 ， 且满足x1+x2=2×3=6，
依此类推：x3+x4=2×6=12，x5+x6=2×12=24…，x2n﹣1+x2n=2×3×2n﹣1 ．
∴当 时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=6×（1+2+22+…+2n﹣1）=6× =6×（2n﹣1），
所以答案是：6×（2n﹣1）．