Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx-3a（a，b，c∈R且a≠0），当x=-1时，f（x）取到极大值2．
（1）用a分别表示b和c；
（2）当a=l时，求f（x）的极小值；
（3）求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导函数，由已知在x=-1处f（x）取得极大值2，代入可得方程组

f(-1)=2 f′(-1)=0

进一步得到a，b，c的关系．
（2）当a=l时，令f′（x）=0，可得x=-1 x=-

1

3

．根据f′（x）的符号可得当 x=-

1

3

时，函数f（x）有极小值为f（-

1

3

）．
（3）在（1）的基础上得到函数f（x）的导数f^′（x）=3ax²+2（a+1）x+2-a，由已知要使函数f（x）有极大值需要对二次项系数a和极值点进行讨论，易得结论．

解答：解：（1）∵函数f（x）=ax³+bx²+cx-3a，∴f′（x）=3ax² +2bx+c．
由题意可得

f(-1)=2 f′(-1)=0

，即

-a+b-c-3a=2 3a-2b+c=0

，解得

b=a+1 c=2-a

．
（2）当a=l时，b=2，c=1，函数f（x）=x³ +2x² +x-3，
令f′（x）=3x² +4x+1=（3x+1）（x+1）=0，可得x=-1 x=-

1

3

．
在（-∞，-1）、（-

1

3

，+∞）上，f′（x）＜0，在（-1，-

1

3

）上f′（x）＞0，
故当 x=-

1

3

时，函数f（x）有极小值为f（-

1

3

）=-

82

27

．
（3）由（1）得f′（x）=3ax2+2（a+1）x+2-a=3a（x+1）（x-

a-2

3-a

），
令f′（x）=0解得x₁=-1，x₂=

a-2

3a

，
∴要使f（x）极大值为f（-1）=2，
则

a＞0 a-2 3a ＞-1

，或

a＜0 a-2 3a ＜-1

．
解得 a＞

1

2

．

点评：本题考查了函数的导数，导数的几何意义，以及利用导数解答函数的极值问题，考查了二次函数的性质，综合考查了函数的零点以及分类讨论的数学思想，属于基础题．