Question

（本小题满分14分）
已知双曲线的一个焦点为(,0),一条渐近线方程为,其中
是以4为首项的正数数列,记.
(Ⅰ)求数列的通项公式; 
(Ⅱ)若数列的前n项的和为S_n,求;
(Ⅲ)若不等式+(a>0,且a≠1)对一切自然数n恒成立,求实数x的取值范围.

Answer 1

解: (Ⅰ)∵双曲线方程为的一个焦点为(,0),∴.
又∵一条渐近线方程为,∴.∴=2.
∵a₁=4,∴是以4为首项的等比数列,a_n=2ⁿ⁺¹.∴c_n=3·2ⁿ.
(Ⅱ) S_n=c₁+c₂+…+c_n=3(2+2²+…+2ⁿ)=6(2ⁿ－1).
∵a_nc_n=3·2²ⁿ⁺¹,
∴
∴
(Ⅲ)T=,①
T=,②
①－②得T=,
故原不等式等价于 (n∈N^*)恒成立,即恒成立,
∴≥0恒成立,
故(ⅰ)当a>1时,x≥1.(ⅱ)当0<a<1时,0<x≤1.

略