Question

【题目】已知双曲线的方程为，离心率,顶点到渐近线的距离为

(1)求双曲线的方程;

(2)设是双曲线上点，,两点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由顶点到渐近线距离、离心率和双曲线的关系可构造方程求得，进而得到双曲线方程；

（2）假设三点坐标，利用可表示出点坐标，代入双曲线方程整理可得；结合渐近线斜率和倾斜角的关系、同角三角函数和二倍角公式可求得，利用三角形面积公式可将所求面积化为关于的函数，利用对号函数的性质即可求得所求取值范围.

（1）由双曲线方程可知其渐近线方程为，顶点坐标

顶点到渐近线距离

由得： 双曲线的方程为：

（2）由（1）知：双曲线渐近线方程为

设，，，其中，

则，

由得：

，整理可得：

设

，

又，

当时，在上单调递减，在上单调递增

，

即面积的取值范围为