Question

15．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n•（$\frac{3}{4}$）ⁿ，求数列{a_n}的最大项．

Answer 1

分析 根据数列的通项公式建立条件关系，解不等式$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}≥{a}_{n-1}}\\{{a}_{n}≥{a}_{n+1}}\end{array}\right.$，即可得到结论．

解答 解：假设数列的最大项的项数为a_n，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}≥{a}_{n-1}}\\{{a}_{n}≥{a}_{n+1}}\end{array}\right.$，
则$\left\{\begin{array}{l}{n•（\frac{3}{4}）^{n}≥（n-1）•（\frac{3}{4}）^{n-1}}\\{n•（\frac{3}{4}）^{n}≥（n+1）•（\frac{3}{4}）^{n+1}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3n}{4}≥n-1}\\{n≥（n+1）•\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
则$\left\{\begin{array}{l}{n≤4}\\{n≥3}\end{array}\right.$，
即3≤n≤4，
即n=3或4，
故数列的最大项的为a₃=3•（$\frac{3}{4}$）³=$\frac{81}{64}$或a₄=4•（$\frac{3}{4}$）⁴=$\frac{81}{64}$．

点评 本题主要考查数列最大项的求解，根据条件建立不等式组是解决本题的关键．