Question

已知奇函数f（x）的定义域为R，当x≥0，f（x）=（

1

2

）^x-1．
（1）求函数f（x）的解析式，并判断函数在R上的单调性（不需证明，只需给出结论）；
（2）对于函数f（x）是否存在实数m，使f（2m-mcosθ）+f（-1-sin²θ）＜f（0）对所有θ∈[0，

π

2

]都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：指数函数综合题,函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）利用奇偶性求得f（x）=

1 2x -1，x≥0 1-2x，x＜0

；
（2）化恒成立问题为最值问题．

解答： 解：（1）当x＜0时，-x＞0；
故f（x）=-f（-x）
=-（2^x-1）
=1-2^x；
故f（x）=

1 2x -1，x≥0 1-2x，x＜0

；
函数在R上单调递减；
（2）f（2m-mcosθ）+f（-1-sin²θ）＜f（0），
即f（2m-mcosθ）＜f（1+sin²θ），
即2m-mcosθ＞1+sin²θ；
即m＞

1+sin2θ

2-cosθ

=

2-cos2θ

2-cosθ

，
令t=2-cosθ，则t∈[1，2]；
h（t）=4-（t+

2

t

）；
故当t=

2

时，h_min（t）=4-2

2

；
故m＞4-2

2

．

点评：本题考查了函数的奇偶性与恒成立问题的应用，属于中档题．