Question

16．已知sinα+cosα=-$\frac{1}{5}$，α为第二象限角．
（1）求sinα-cosα的值；
（2）求$\frac{sin（\frac{π}{2}-α）+sin（π-α）}{cos2α}$的值．

Answer 1

分析 （1）所求式子平方，利用完全平方公式展开，再利用同角三角函数间基本关系化简，将各自的值代入，结合已知条件，开方即可求出值；
（2）利用三角函数的诱导公式化简，然后结合（1）即可求出答案．

解答 解：（1）∵sinα+cosα=-$\frac{1}{5}$，
∴（sinα+cosα）²=sin²α+2sinαcosα+cos²α=1+2sinαcosα=$\frac{1}{25}$，
∴$sinαcosα=-\frac{12}{25}$
又（sinα-cosα）²=（sinα+cosα）²-4sinαcosα=$\frac{1}{25}-4×（-\frac{12}{25}）=\frac{49}{25}$．
∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα-cosα＞0．
∴sinα-cosα=$\frac{7}{5}$；
（2）$\frac{sin（\frac{π}{2}-α）+sin（π-α）}{cos2α}$=$\frac{cosα+sinα}{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}=\frac{cosα+sinα}{（cosα-sinα）（cosα+sinα）}$
=$\frac{1}{cosα-sinα}$=$-\frac{5}{7}$．

点评 本题考查了三角函数的诱导公式，考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，是中档题．