Question

4．已知y=f（x）为定义在R上的单调递增函数，y=f′（x）是其导函数，若对任意∈R总有$\frac{f（x）}{f′（x）}$＜$\frac{1}{2017}$，则下列大小关系一定正确的是（　　）

• A． f（$\frac{1}{2017}$）＞e•f（0）
• B． f（$\frac{1}{2017}$）＜e•f（0）
• C． f（$\frac{1}{2017}$）＞e²•f（0）
• D． f（$\frac{1}{2017}$）＜e²•f（0）

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{2017x}}$，求出函数的导数，得到函数g（x）的单调性，从而判断函数值的大小即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{2017x}}$，
则g′（x）=$\frac{f′（x）-2017f（x）}{{2}^{2017x}}$，
由f′（x）＞0，$\frac{f（x）}{f′（x）}$＜$\frac{1}{2017}$，
得f′（x）-2017f（x）＞0，
故g′（x）＞0，g（x）在R递增，
故g（$\frac{1}{2017}$）＞g（0），
即$\frac{f（\frac{1}{2017}）}{e}$＞$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$，
即f（$\frac{1}{2017}$）＞ef（0），
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．