Question

13．已知函数f（x）=$\frac{ax-a}{{e}^{x}}+1$有且仅有两个零点，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-e²，0]
• B． （-∞，-e²）
• C． [-e²，0]
• D． [-e²，+∞）

Answer 1

分析 令f（x）=0，可得a（x-1）=-e^x，可得a=$\frac{{e}^{x}}{1-x}$在x≠1有且只有2个不等实根，等价为函数g（x）=$\frac{{e}^{x}}{1-x}$的图象和直线y=a有且只有两个交点．求出g（x）的导数和单调区间、极值，即可得到所求a的范围．

解答 解：f（x）=$\frac{ax-a}{{e}^{x}}+1$，
令f（x）=0，可得a（x-1）=-e^x，
当x=1时，上式显然不成立；
可得a=$\frac{{e}^{x}}{1-x}$在x≠1有且只有2个不等实根，
等价为函数g（x）=$\frac{{e}^{x}}{1-x}$的图象和直线y=a有且只有两个交点．
由g′（x）=$\frac{{e}^{x}（2-x）}{（1-x）^{2}}$，可得x＞2时，g′（x）＜0，g（x）递减；
当x＜1或1＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）递增．
即有x=2处，g（x）取得极大值-e²．
作出函数g（x）的图象，如右：
由图象可得a＜-e²时，直线y=a和y=g（x）的图象有两个交点．
故选：B．

点评 本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用函数方程的转化思想和数形结合思想方法，考查导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力，属于中档题．