Question

4．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC是边长为1的正三角形，侧棱AA₁与底面所成的角是60°，在侧棱AA₁，BB₁，CC₁上分别有点P，Q，R且AP=$\frac{3}{2}$，BQ=1，CR=$\frac{1}{2}$，则截面PQR与底面ABC之间的几何体的体积是（　　）

• A． $\frac{3}{8}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 作截面MQN∥平面ABC，可得V_P-MQN=V_R-MQN
即截面PQR与底面ABC之间的几何体的体积等于V_MQN-ABC，
由三棱柱ABC-MQN的高h=AM•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$可求得截面PQR与底面ABC之间的几何体的体积．

解答 解：如图，作截面MQN∥平面ABC，
∵PM=RN，∴V_P-MQN=V_R-MQN
所以截面PQR与底面ABC之间的几何体的体积等于V_MQN-ABC，
三棱柱ABC-MQN的高h=AM•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
V_MQN-ABC=S_ABC•h=$\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{8}$
故选：A

点评 本题考查了不规则几何体的体积转化为斜棱柱的体积处理方法，属于中档题．