Question

12．已知a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N₊），我们把使乘积a₁•a₂•a₃…•a_n为整数的数n叫做“优数”，则在区间（1，2004）内的所有优数的和为（　　）

• A． 1024
• B． 2003
• C． 2026
• D． 2048

Answer 1

分析 根据换底公式log_ab=$\frac{lo{g}_{c}b}{lo{g}_{c}a}$，把a_n=log_（n+1）（n+2）代入a₁•a₂…a_n并且化简，转化为log₂（n+2），
由log₂（n+2）为整数，即n+2=2^m，m∈N^*，令m=1，2，3，…，10，可求得区间[1，2004]内的所有优数的和．

解答 解：由换底公式：log_ab=$\frac{lo{g}_{c}b}{lo{g}_{c}a}$．
∴a₁•a₂•a₃•…•a_n
=log₂3•log₃4…log_（n+1）（n+2）
=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$…$\frac{lg（n+2）}{lg（n+1）}$
=$\frac{lg（n+2）}{lg2}$=log₂（n+2），
可设log₂（n+2）=m为整数，
∴n+2=2^m，m∈N^*．
n分别可取2²-2，2³-2，2⁴-2，最大值2^m-2≤2004，m最大可取10，
故和为2²+2³+…+2¹⁰-18=2026．
故选：C．

点评 本题了对数的换底公式，考查了数列和的求法，把a₁•a₂…a_n化简转化为对数的运算是解答的关键，体现了转化的思想，属中档题．