Question

9．四面体OABC四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为：O（0，0，0）、A（2，0，0）、B（0，4，0）、C（0，2，2），则四面体OABC外接球的表面积为20π．

Answer 1

分析 可得OA=2，OC=BC=2$\sqrt{2}$，OB=4，AO⊥平面OBC，∠OCB=90°
易得BC⊥平面AOC，即BC⊥AC．
即AB的中点是四面体OABC外接球的球心，球的半径R=$\frac{1}{2}AB$=$\sqrt{5}$．
可得四面体OABC外接球的表面积

解答 解：如图，由O（0，0，0）、A（2，0，0）、B（0，4，0）、C（0，2，2），可得
OA=2，OC=BC=2$\sqrt{2}$，OB=4，AO⊥平面OBC，∠OCB=90°
易得BC⊥平面AOC，即BC⊥AC．
∴AB是Rt△AOB和Rt△ACB的公共斜边，
∴AB的中点是四面体OABC外接球的球心，球的半径R=$\frac{1}{2}AB$=$\sqrt{5}$．
∴四面体OABC外接球的表面积为4πR²=20π．
故答案为：20π

点评 本题考查四面体的外接球的表面积，考查学生的空间想象能力和计算能力，正确转化是关键．属于中档题．